{"id":12289,"date":"2023-07-25T09:07:15","date_gmt":"2023-07-25T09:07:15","guid":{"rendered":"https:\/\/grafiti.com\/systat\/systat-vertrauensbereiche\/"},"modified":"2024-01-13T07:16:14","modified_gmt":"2024-01-13T07:16:14","slug":"systat-vertrauensbereiche","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/grafiti.com\/de\/systat\/systat-vertrauensbereiche\/","title":{"rendered":"Systat-Vertrauensbereiche"},"content":{"rendered":"\t\t
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INPIXON<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Vertrauensb\u00e4nder\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Konfidenzintervalle und Konfidenzb\u00e4nder\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Grundlagen\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Manchmal werden wir gefragt, wie man Konfidenzintervalle in linearen Modellen in SYSTAT<\/a> erh\u00e4lt. Es ist eigentlich gar nicht so schwer, und wir werden hier die Technik besprechen. Bevor wir dies tun, sollten wir jedoch die grundlegenden Ideen hinter einem Konfidenzintervall f\u00fcr ein lineares Modell betrachten.<\/p>\n

Erstens, wenn wir eine lineare Regression von Y auf die Variable X haben, dann sagen wir eigentlich, dass f\u00fcr einen bestimmten Wert von X der Wert von Y durch Y=aX+b+e gegeben ist, wobei e ein „Rauschterm“ ist.<\/p>\n

Der Rauschtext wird normalerweise als normalverteilt mit einem Mittelwert von 0 und einer Varianz von s^2 angenommen. Der Trick bei einem realen Datensatz besteht darin, a und b zu sch\u00e4tzen und dann anhand eines gesch\u00e4tzten Wertes von s^2 R\u00fcckschl\u00fcsse auf diese Sch\u00e4tzungen zu ziehen.<\/p>\n

Manchmal m\u00f6chte man jedoch ein Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert von Y bei einem bestimmten Wert von X finden. Nach der obigen Gleichung ist der Mittelwert von Y bei X aX+b.<\/p>\n

In einem realen Datensatz kennen wir jedoch nie die „wahren“ Werte von a und b; wir kennen nur unsere Sch\u00e4tzungen. Daher ist es angebracht, ein Intervall zu finden, in dem wir relativ sicher sein k\u00f6nnen, dass der wahre Mittelwert von Y auftritt.<\/p>\n

F\u00fcr die Berechnung dieses Intervalls gibt es einige sehr un\u00fcbersichtliche Formeln, auf die wir hier aber nicht n\u00e4her eingehen wollen. Schlie\u00dflich soll der Computer das Rechnen leicht machen. Nehmen wir also den Musterdatensatz USSTATES.SYD mit 48 g\u00fcltigen F\u00e4llen f\u00fcr die Variablen CARDIO und CANCER. Verwenden Sie das Dialogfeld Statistik > Regression > Linear, um das Regressionsmodell einzurichten oder die Befehle zu erteilen:<\/p>\n

REGRESS
USE usstates
SAVE regress\/MODEL
MODELL Krebs=CONSTANT+Kardio
SCH\u00c4TZUNG<\/p>\n

Der Computer sch\u00e4tzt dann das Modell, indem er gesch\u00e4tzte Werte sowohl f\u00fcr die Konstante als auch f\u00fcr den Koeffizienten von CARDIO ermittelt und eine Varianzanalysetabelle ausdruckt.<\/p>\n

In diesem Fall wird auch eine Datei, REGRESS.SYD, gespeichert, die die Residuen des Modells, die Sch\u00e4tzungen von CANCER auf der Grundlage von CARDIO f\u00fcr das Modell (die Variable ESTIMATE) und einen mysteri\u00f6sen Wert namens SEPRED enth\u00e4lt. SEPRED wird zur Berechnung unserer Konfidenzintervalle verwendet.<\/p>\n

SEPRED steht f\u00fcr „Standard Error of the Predicted Value“. Die Datei enth\u00e4lt auch die Werte der Originaldaten. Diese werden gespeichert, weil wir dem Befehl SAVE die Option MODEL hinzugef\u00fcgt haben.<\/p>\n

Um die obere und untere Grenze eines 95 %-Konfidenzintervalls f\u00fcr die vorhergesagten Werte von KREBS zu berechnen, verwenden Sie das Dialogfeld Daten > Transformieren > Lassen oder rufen Sie das BASIC-Modul auf und geben Sie die Befehle ein:
BASIC
USE regress
LET n=48
LET nvars=2
LET upper = Sch\u00e4tzung+TIF(.975,n-nvars)*sepred
LET lower = estimate-TIF(.975,n-nvars)*sepred
PRINT oben unten
LAUFEN<\/p>\n

Die oberen und unteren Konfidenzgrenzen f\u00fcr den gesch\u00e4tzten Wert von KREBS f\u00fcr jeden Fall werden dann ausgedruckt. In der obigen Darstellung steht TIF f\u00fcr die „Inverse t-Distribution“.<\/p>\n

Die oben genannten Ideen k\u00f6nnen auf verschiedene Weise verallgemeinert werden. Wenn Sie beispielsweise ein Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert von Y f\u00fcr eine Regression auf zwei Variablen finden m\u00f6chten, m\u00fcssen Sie nur diese Variablen zur MODEL-Anweisung in REGRESS hinzuf\u00fcgen und NVARS im BASIC-Modul von 2 auf 3 \u00e4ndern. (Anmerkung: N-NVARS ist die Anzahl der g\u00fcltigen F\u00e4lle abz\u00fcglich der Anzahl der Variablen im Modell. Setzen Sie N und NVARS oben auf die richtige Anzahl von F\u00e4llen und Variablen f\u00fcr Ihr Modell.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Konfidenzintervalle f\u00fcr den Mittelwert von Y bei neuen Werten von X\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Es kann vorkommen, dass Sie das Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert von Y bei einem oder mehreren neuen Werten Ihrer X-Variablen finden m\u00f6chten. F\u00fcgen Sie die neuen X-Werte am Ende Ihrer Datei ein und setzen Sie die zugeh\u00f6rigen Y-Werte auf Null. (Sie m\u00fcssen sich nicht darum k\u00fcmmern, wie hoch der Y-Wert tats\u00e4chlich ist. Dieser Y-Wert ist nur ein Platzhalter und wird nicht in die Berechnungen einbezogen).<\/p>\n

Als N\u00e4chstes f\u00fcgen Sie in Ihrer Datei eine neue Variable mit der Bezeichnung WT hinzu. WT sollte den Wert 1 f\u00fcr die F\u00e4lle haben, f\u00fcr die sowohl X- als auch Y-Daten vorliegen, und 0 f\u00fcr die F\u00e4lle mit neuen X-Werten. Verwenden Sie nach dem Speichern der Datei das Dialogfeld Daten > H\u00e4ufigkeit, um WT als Gewichtungsvariable auszuw\u00e4hlen, oder geben Sie den Befehl:<\/p>\n

FREQUENZ=WT<\/p>\n

Verwenden Sie das Dialogfeld Statistik > Regression > Linear oder eine Befehlsdatei, um Ihr Regressionsmodell erneut zu sch\u00e4tzen, und denken Sie daran, die Ergebnisse mit der Option MODELL in einer Datendatei zu speichern. Der Befehl FREQUENCY ist in diesem Zusammenhang sehr n\u00fctzlich; bei der Berechnung der Regression werden Punkte mit dem Gewicht 1 einmal verwendet, Punkte mit dem Gewicht Null werden nullmal verwendet.<\/p>\n

Die Regression wird also f\u00fcr die F\u00e4lle mit bekannten Werten von Y und X berechnet. Der Wert von ESTIMATE wird jedoch f\u00fcr alle F\u00e4lle berechnet. Anhand der Datei mit den gespeicherten Ergebnissen k\u00f6nnen Sie die obige Berechnung verwenden, um das Konfidenzintervall f\u00fcr den gesch\u00e4tzten Mittelwert eines unbekannten Y bei einem bekannten Wert von X f\u00fcr die neuen F\u00e4lle abzuleiten.<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Feinheiten\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Bei dieser Art von Konfidenzintervall gibt es einige Feinheiten, die Sie beachten sollten. Erstens handelt es sich um ein Intervall f\u00fcr den Mittelwert von Y bei einem bestimmten Wert von X, nicht um ein Konfidenzintervall oder eine Bandbreite f\u00fcr die Regressionslinie. Wenn Sie die obere und untere Konfidenzgrenze einzeichnen, sehen Sie zwei gekr\u00fcmmte Linien um die Regressionslinie. Kehren Sie zum urspr\u00fcnglichen Beispiel zur\u00fcck und verwenden Sie die Datei USSTATES.SYD, um die Werte des Konfidenzintervalls zu berechnen und darzustellen:
BEGIN
PLOT Krebs*x(1) \/SIZE=0 SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 ,
XMIN=100 XMAX=500 XLABEL=’CARDIO‘ COLOR=BLUE
PLOT upper,lower*x(1) \/SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT YMIN=100 YMAX=300,
XMIN=100 XMAX=500 YLABEL=‘ ‚ XLABEL=‘ ‚ COLOR=RED,
OVERLAY
ENDE<\/p>\n

(Beim Speichern der Ergebnisse des gesch\u00e4tzten Modells benennt SYSTAT die unabh\u00e4ngigen Variablen X(1) um. . . X(n), so dass CARDIO in diesem Beispiel in X(1) umbenannt wird).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Es ist verlockend zu denken, dass diese Linien ein Vertrauensband f\u00fcr die gesamte Linie bilden. Das ist nicht wahr. Das Problem besteht darin, dass die oberen und unteren Konfidenzgrenzen jeweils anhand eines Punktes berechnet werden. Um ein Konfidenzintervall f\u00fcr eine ganze Linie zu berechnen, m\u00fcssen wir ber\u00fccksichtigen, dass zwei Parameter, die Konstante und der Koeffizient von X, f\u00fcr diese Linie berechnet werden. Die oberen und unteren Konfidenzintervalle f\u00fcr die gesamte Linie w\u00fcrden sich daher wie folgt ergeben:
BASIC
LET n=48
LET nvars=2
LET oberes Band = Sch\u00e4tzung+SQRT(2*FIF(.95,2,n-nvars))*sepred
LET lowerband = Sch\u00e4tzung+SQRT(2*FIF(.95,2,n-nvars))*sepred
PRINT oberes Band unteres Band
LAUFEN<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Wenn Sie die Konfidenzintervalle f\u00fcr die gesch\u00e4tzten Werte von KREBS und die Konfidenzb\u00e4nder f\u00fcr die Regressionslinie aufzeichnen, werden Sie sehen, dass das Konfidenzband breiter ist als das Konfidenzintervall:<\/p>\n

BEGIN
PLOT Krebs*x(1) \/ SIZE=0 SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 ,
XMIN=100 XMAX=500 XLABEL=’CARDIO‘ COLOR=BLUE
PLOT upper,lower*x(1) \/SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT YMIN=100,
YMAX=300 XMIN=100 XMAX=500 YLABEL=‘ ‚,
XLABEL=‘ ‚ COLOR=RED OVERLAY
PLOT oberes Band,unteres Band*x(1) \/SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT,
YMIN=100 YMAX=300 XMIN=100 XMAX=500 YLABEL=‘ ‚,
XLABEL=‘ ‚ COLOR=GR\u00dcN OVERLAY
ENDE<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Da die Beziehung zwischen KREBS (Todesf\u00e4lle pro 100000 aufgrund von Krebs) und KARDIO (Todesf\u00e4lle pro 100000 aufgrund von Herz-Kreislauf-Erkrankungen) linear ist, ist der Unterschied zwischen den Konfidenzintervallen f\u00fcr die gesch\u00e4tzten Werte von KREBS und den Konfidenzb\u00e4ndern f\u00fcr die Regressionslinie gering, aber selbst bei gut verhaltenen Daten wie diesen ist der Unterschied offensichtlich.<\/p>\n

Zweitens ist es auch verlockend zu denken, dass 95 % aller Beobachtungen in die Konfidenzbereiche fallen sollten. Auch dies ist nicht wahr. Dies sind Konfidenzb\u00e4nder nur f\u00fcr den Mittelwert. Wenn Sie Konfidenzintervalle f\u00fcr Beobachtungen ermitteln m\u00f6chten, m\u00fcssen Sie die Berechnung wie unten dargestellt \u00e4ndern.<\/p>\n

BASIC
LET n=48
LET nvars=2
LET s_square=177.065
LET oberes Band = Sch\u00e4tzung+TIF(.975,n-nvars)*SQR(sepred^2+s_square)
LET lowerband = estimate-TIF(.975,n-nvars)*SQR(sepred^2+s_square)
PRINT oberes Band unteres Band
LAUFEN<\/p>\n

\"\"<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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wobei S_SQUARE der mittlere quadratische Rest aus der Regression ist. Diese werden manchmal als Vorhersageintervalle bezeichnet. Geben Sie bei der Eingabe Ihrer Werte f\u00fcr N und NVARS auch den Wert f\u00fcr S_SQUARE ein, den Sie in der Varianzanalysetabelle der Regressionsausgabe finden.<\/p>\n

Wenn Sie nun die Ergebnisse dieser Berechnung sehen m\u00f6chten, geben Sie die folgende Befehlsfolge ein:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

BEGIN
PLOT cancer*x(1) \/SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 XMIN=100,
XMAX=500 XLABEL=’CARDIO‘ COLOR=BLUE
PLOT oberes Band,unteres Band*x(1) \/ SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT,
YMIN=100 YMAX=300 XMIN=100 XMAX=500 YLABEL=‘ ‚,
XLABEL=‘ ‚ COLOR=GR\u00dcN OVERLAY
ENDE<\/p>\n

Dadurch werden die Konfidenzb\u00e4nder oder Vorhersageintervalle um die Daten herum dargestellt.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n

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INPIXON Vertrauensb\u00e4nder Konfidenzintervalle und Konfidenzb\u00e4nder Grundlagen Manchmal werden wir gefragt, wie man Konfidenzintervalle in linearen Modellen in SYSTAT erh\u00e4lt. Es ist eigentlich gar nicht so schwer, und wir werden hier die Technik besprechen. Bevor wir dies tun, sollten wir jedoch die grundlegenden Ideen hinter einem Konfidenzintervall f\u00fcr ein lineares Modell betrachten. 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