{"id":12304,"date":"2023-07-25T09:07:15","date_gmt":"2023-07-25T09:07:15","guid":{"rendered":"https:\/\/grafiti.com\/systat\/bandes-de-confiance-systat\/"},"modified":"2024-01-13T07:16:15","modified_gmt":"2024-01-13T07:16:15","slug":"bandes-de-confiance-systat","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/grafiti.com\/fr\/systat\/bandes-de-confiance-systat\/","title":{"rendered":"Bandes de confiance Systat"},"content":{"rendered":"\t\t
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INPIXON<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Bandes de confiance\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Intervalles de confiance et bandes de confiance\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Principes de base\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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On nous demande parfois comment obtenir des intervalles de confiance dans les mod\u00e8les lin\u00e9aires dans SYSTAT<\/a>. En fait, ce n’est pas tr\u00e8s difficile et nous allons passer en revue la technique. Mais avant cela, passons en revue les id\u00e9es de base qui sous-tendent un intervalle de confiance pour un mod\u00e8le lin\u00e9aire.<\/p>\n

Tout d’abord, si nous avons une r\u00e9gression lin\u00e9aire de Y sur la variable X, nous disons en fait que, pour une valeur donn\u00e9e de X, la valeur de Y est donn\u00e9e par Y=aX+b+e o\u00f9 e est un \u00ab\u00a0terme de bruit\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Le terme de bruit est g\u00e9n\u00e9ralement suppos\u00e9 \u00eatre normalement distribu\u00e9 avec une moyenne de 0 et une variance de s^2. L’astuce pour un ensemble de donn\u00e9es r\u00e9elles consiste \u00e0 estimer a et b, puis \u00e0 effectuer des d\u00e9ductions sur ces estimations \u00e0 l’aide d’une valeur estim\u00e9e de s^2.<\/p>\n

Parfois, cependant, nous aimerions trouver un intervalle de confiance pour la moyenne de Y \u00e0 une valeur sp\u00e9cifi\u00e9e de X. Selon l’\u00e9quation ci-dessus, la moyenne de Y \u00e0 X est aX+b.<\/p>\n

Cependant, dans un ensemble de donn\u00e9es r\u00e9elles, nous ne connaissons jamais les \u00ab\u00a0vraies\u00a0\u00bb valeurs de a et b ; tout ce que nous savons, ce sont nos estimations. Par cons\u00e9quent, il convient de trouver un intervalle dans lequel nous pouvons \u00eatre relativement s\u00fbrs que la v\u00e9ritable moyenne de Y se produit.<\/p>\n

Il existe des formules tr\u00e8s compliqu\u00e9es pour calculer cet intervalle, mais nous ne les aborderons pas ici. Apr\u00e8s tout, l’ordinateur doit faciliter le calcul. Supposons donc que nous prenions l’\u00e9chantillon de donn\u00e9es USSTATES.SYD, avec 48 cas valides pour les variables CARDIO et CANCER. Utilisez la bo\u00eete de dialogue Statistics > Regression > Linear pour configurer le mod\u00e8le de r\u00e9gression ou lancer les commandes :<\/p>\n

REGRESS
USE usstates
SAUVEGARDE r\u00e9gression\/mod\u00e8le
MOD\u00c8LE cancer=CONSTANT+cardio
ESTIMATION<\/p>\n

L’ordinateur estime alors le mod\u00e8le, en trouvant des valeurs estim\u00e9es pour la constante et le coefficient de CARDIO et en imprimant un tableau d’analyse de la variance.<\/p>\n

Dans ce cas, il enregistre \u00e9galement un fichier, REGRESS.SYD, qui contient les r\u00e9sidus du mod\u00e8le, les estimations de CANCER bas\u00e9es sur CARDIO pour le mod\u00e8le (la variable nomm\u00e9e ESTIMATE) et une valeur myst\u00e9rieuse appel\u00e9e SEPRED. C’est SEPRED que nous utiliserons pour calculer nos intervalles de confiance.<\/p>\n

SEPRED signifie \u00ab\u00a0Erreur standard de la valeur pr\u00e9dite\u00a0\u00bb. Le fichier contiendra \u00e9galement les valeurs des donn\u00e9es originales. Ils sont sauvegard\u00e9s parce que nous avons ajout\u00e9 l’option MODEL \u00e0 la commande SAVE.<\/p>\n

Pour calculer les limites SUP\u00c9RIEURE et INF\u00c9RIEURE d’un intervalle de confiance \u00e0 95 % pour les valeurs pr\u00e9dites de CANCER, utilisez la bo\u00eete de dialogue Data > Transform > Let ou entrez dans le module BASIC et lancez les commandes :
BASIC
USE regress
LET n=48
LET nvars=2
LET upper = estimate+TIF(.975,n-nvars)*sepred
LET lower = estimate-TIF(.975,n-nvars)*sepred
PRINT sup\u00e9rieur inf\u00e9rieur
RUN<\/p>\n

Les limites de confiance SUP\u00c9RIEURE et INF\u00c9RIEURE de la valeur estim\u00e9e de CANCER pour chaque cas seront alors imprim\u00e9es. Dans l’exemple ci-dessus, TIF est l’abr\u00e9viation de \u00ab\u00a0Inverse t-distribution\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Les id\u00e9es ci-dessus peuvent \u00eatre g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9es de diff\u00e9rentes mani\u00e8res. Par exemple, si vous souhaitez trouver un intervalle de confiance pour la moyenne de Y pour une r\u00e9gression sur deux variables, il vous suffit d’ajouter ces variables \u00e0 l’instruction MODEL dans REGRESS et de changer NVARS de 2 \u00e0 3 dans le module BASIC. (Note : N-NVARS repr\u00e9sente le nombre de cas valides moins le nombre de variables dans le mod\u00e8le. D\u00e9finissez N et NVARS ci-dessus comme \u00e9tant le nombre correct de cas et de variables pour votre mod\u00e8le.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Intervalles de confiance pour la moyenne de Y \u00e0 de nouvelles valeurs de X\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Il peut arriver que vous souhaitiez trouver l’intervalle de confiance pour la moyenne de Y pour une ou plusieurs nouvelles valeurs de votre variable X. Mettez les nouvelles valeurs de X \u00e0 la fin de votre fichier et mettez \u00e0 z\u00e9ro les valeurs de Y associ\u00e9es. (Vous ne devez pas vous pr\u00e9occuper de la valeur Y r\u00e9elle. Cette valeur Y n’est qu’un espace r\u00e9serv\u00e9 et n’entrera pas dans les calculs).<\/p>\n

Ensuite, ajoutez une nouvelle variable dans votre fichier, appel\u00e9e WT. WT doit avoir la valeur 1 pour les cas pour lesquels vous avez des donn\u00e9es \u00e0 la fois pour X et Y, et 0 pour les cas avec de nouvelles valeurs de X. Apr\u00e8s avoir enregistr\u00e9 le fichier, utilisez la bo\u00eete de dialogue Data > Frequency pour s\u00e9lectionner WT comme variable de pond\u00e9ration, ou lancez la commande :<\/p>\n

FREQUENCE=WT<\/p>\n

En utilisant la bo\u00eete de dialogue Statistics > Regression > Linear ou un fichier de commandes, estimez \u00e0 nouveau votre mod\u00e8le de r\u00e9gression, en n’oubliant pas d’enregistrer les r\u00e9sultats dans un fichier de donn\u00e9es avec l’option MODEL. La commande FR\u00c9QUENCE est tr\u00e8s utile dans ce contexte ; lors du calcul de la r\u00e9gression, les points de poids 1 seront utilis\u00e9s une fois, les points de poids z\u00e9ro seront utilis\u00e9s z\u00e9ro fois.<\/p>\n

Ainsi, la r\u00e9gression sera calcul\u00e9e pour les cas dont les valeurs de Y et X sont connues. Cependant, la valeur d’ESTIMATION sera calcul\u00e9e pour tous les cas. En utilisant le fichier des r\u00e9sultats enregistr\u00e9s, vous pouvez utiliser le calcul ci-dessus pour d\u00e9river l’intervalle de confiance pour la moyenne estim\u00e9e d’une inconnue Y \u00e0 une valeur connue de X pour les nouveaux cas.<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Subtilit\u00e9s\n<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Il convient de noter quelques subtilit\u00e9s concernant ce type d’intervalle de confiance. Tout d’abord, il s’agit d’un intervalle pour la moyenne de Y \u00e0 une valeur particuli\u00e8re de X, et non d’un intervalle de confiance ou d’une bande pour la droite de r\u00e9gression. Si vous tracez les limites de confiance SUP\u00c9RIEURE et INF\u00c9RIEURE, vous verrez deux lignes courbes autour de la ligne de r\u00e9gression. Pour revenir \u00e0 l’exemple original utilisant le fichier USSTATES.SYD, calculez les valeurs de l’intervalle de confiance et tracez-les :
D\u00c9BUT
PLOT cancer*x(1) \/SIZE=0 SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 ,
XMIN=100 XMAX=500 XLABEL=’CARDIO’ COLOR=BLUE
PLOT upper,lower*x(1) \/SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT YMIN=100 YMAX=300,
XMIN=100 XMAX=500 YLABEL=’ ‘ XLABEL=’ ‘ COLOR=RED,
SURCOUVERTURE
FIN<\/p>\n

(En sauvegardant les r\u00e9sultats du mod\u00e8le estim\u00e9, SYSTAT renomme les variables ind\u00e9pendantes X(1). . . X(n), de sorte que CARDIO est renomm\u00e9 X(1) dans cet exemple).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Il est tentant de penser que ces lignes forment une bande de confiance pour l’ensemble de la ligne. Ce n’est pas vrai. Le probl\u00e8me est que les limites de confiance sup\u00e9rieure et inf\u00e9rieure sont calcul\u00e9es en utilisant un point \u00e0 la fois. Pour calculer une bande ou un intervalle de confiance pour une ligne enti\u00e8re, il faut tenir compte du fait que deux param\u00e8tres, la constante et le coefficient X, sont calcul\u00e9s pour cette ligne. Par cons\u00e9quent, les bandes de confiance sup\u00e9rieures et inf\u00e9rieures pour l’ensemble de la ligne seraient donn\u00e9es par :
BASIC
LET n=48
LET nvars=2
LET upperband = estimate+SQRT(2*FIF(.95,2,n-nvars))*sepred
LET lowerband = estimate+SQRT(2*FIF(.95,2,n-nvars))*sepred
PRINT bande sup\u00e9rieure bande inf\u00e9rieure
RUN<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Lorsque vous repr\u00e9sentez les intervalles de confiance pour les valeurs estim\u00e9es de CANCER et les bandes de confiance pour la ligne de r\u00e9gression, vous verrez que la bande de confiance est plus large que l’intervalle de confiance :<\/p>\n

D\u00c9BUT
PLOT cancer*x(1) \/ SIZE=0 SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 ,
XMIN=100 XMAX=500 XLABEL=’CARDIO’ COLOR=BLUE
PLOT upper,lower*x(1) \/SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT YMIN=100,
YMAX=300 XMIN=100 XMAX=500 YLABEL=’ ‘,
XLABEL=’ ‘ COLOR=RED OVERLAY
PLOT bande sup\u00e9rieure,bande inf\u00e9rieure*x(1) \/SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT,
YMIN=100 YMAX=300 XMIN=100 XMAX=500 YLABEL=’ ‘,
XLABEL=’ ‘ COLOR=GREEN OVERLAY
FIN<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Comme la relation entre CANCER (d\u00e9c\u00e8s par 100 000 dus au cancer) et CARDIO (d\u00e9c\u00e8s par 100 000 dus aux maladies cardiovasculaires) est lin\u00e9aire, la diff\u00e9rence entre les intervalles de confiance pour les valeurs estim\u00e9es de CANCER et les intervalles de confiance pour la ligne de r\u00e9gression est faible, mais m\u00eame avec des donn\u00e9es qui se comportent bien comme celle-ci, la diff\u00e9rence est apparente.<\/p>\n

Deuxi\u00e8mement, il est \u00e9galement tentant de penser que 95 % de toutes les observations devraient se situer \u00e0 l’int\u00e9rieur des intervalles de confiance. Ce n’est pas vrai non plus. Il s’agit de bandes de confiance pour la moyenne uniquement. Si vous souhaitez trouver des bandes de confiance pour les observations, vous devez modifier le calcul comme indiqu\u00e9 ci-dessous.<\/p>\n

BASIC
LET n=48
LET nvars=2
LET s_square=177.065
LET upperband = estimate+TIF(.975,n-nvars)*SQR(sepred^2+s_square)
LET lowerband = estimate-TIF(.975,n-nvars)*SQR(sepred^2+s_square)
PRINT bande sup\u00e9rieure bande inf\u00e9rieure
RUN<\/p>\n

\"\"<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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o\u00f9 S_SQUARE est le r\u00e9sidu quadratique moyen de la r\u00e9gression. Ces intervalles sont parfois appel\u00e9s intervalles de pr\u00e9diction. Lorsque vous saisissez les valeurs de N et NVARS, saisissez \u00e9galement la valeur de S_SQUARE, que vous trouverez dans le tableau d’analyse de la variance du r\u00e9sultat de la r\u00e9gression.<\/p>\n

Maintenant, si vous souhaitez voir les r\u00e9sultats de ce calcul, lancez la s\u00e9quence de commandes suivante :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

D\u00c9BUT
PLOT cancer*x(1) \/SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 XMIN=100,
XMAX=500 XLABEL=’CARDIO’ COLOR=BLUE
PLOT bande sup\u00e9rieure,bande inf\u00e9rieure*x(1) \/ SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT,
YMIN=100 YMAX=300 XMIN=100 XMAX=500 YLABEL=’ ‘,
XLABEL=’ ‘ COLOR=GREEN OVERLAY
FIN<\/p>\n

Cela permet de tracer les bandes de confiance ou les intervalles de pr\u00e9diction autour des donn\u00e9es.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n

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