Amélioration des comparaisons multiples – Une amélioration significative a été apportée au calcul de la valeur P des comparaisons multiples. Les procédures de comparaison multiple suivantes, Tukey (tests non paramétriques), SNK (tests non paramétriques), Dunnett, Dunn (uniquement non paramétriques) et Duncan ne calculent pas les valeurs p de manière analytique, mais utilisent des tables de recherche des valeurs critiques pour une distribution particulière afin de déterminer, par interpolation si nécessaire, si une statistique de test calculée représente une différence significative entre les moyennes des groupes. Par conséquent, les valeurs p n’ont pas été rapportées pour ces tests, mais seulement la conclusion sur l’existence ou non d’une différence significative. Le problème majeur de cette approche est que les tables de recherche ne sont disponibles que pour deux niveaux de signification, 0,05 et 0,01. Un autre problème est que de nombreux clients souhaitent connaître les valeurs p. Pour SigmaPlot, des algorithmes ont été codés pour calculer les distributions des statistiques de test pour toutes les procédures post-hoc, ce qui rend les tables de recherche obsolètes. En conséquence, les valeurs p ajustées pour toutes les procédures post-hoc sont désormais incluses dans le rapport. En outre, il n’est plus nécessaire de limiter le niveau de signification des comparaisons multiples à 0,05 ou 0,01. Au lieu de cela, le niveau de signification des comparaisons multiples sera le même que le niveau de signification du test principal (omnibus). Il n’y a pas de limite à cette valeur p – toute valeur valide peut être utilisée.

Critère d’information d’Akaike (AICc ) – Le critère d’information d’Akaike a été ajouté aux rapports de l’assistant de régression et de l’assistant d’ajustement dynamique ainsi qu’à la boîte de dialogue Options de rapport. Il fournit une méthode pour mesurer la performance relative de l’ajustement d’un modèle de régression à un ensemble donné de données. Fondé sur le concept d’entropie de l’information, le critère offre une mesure relative de l’information perdue lors de l’utilisation d’un modèle pour décrire les données.

Plus précisément, il s’agit d’un compromis entre la maximisation de la vraisemblance du modèle estimé (ce qui revient à minimiser la somme des carrés résiduels si les données sont normalement distribuées) et le maintien au minimum du nombre de paramètres libres dans le modèle, ce qui réduit sa complexité. Bien que la qualité de l’ajustement soit presque toujours améliorée par l’ajout de paramètres, l’ajustement excessif augmente la sensibilité du modèle aux changements des données d’entrée et peut ruiner sa capacité prédictive.

La raison principale de l’utilisation de l’AIC est de guider la sélection d’un modèle. Dans la pratique, elle est calculée pour un ensemble de modèles candidats et un ensemble de données donné. Le modèle ayant la plus petite valeur AIC est sélectionné comme le modèle de l’ensemble qui représente le mieux le « vrai » modèle, ou le modèle qui minimise la perte d’information, ce que l’AIC est conçu pour estimer.

Une fois que le modèle avec l’AIC minimum a été déterminé, une vraisemblance relative peut également être calculée pour chacun des autres modèles candidats afin de mesurer la probabilité de réduire la perte d’information par rapport au modèle avec l’AIC minimum. La vraisemblance relative peut aider l’enquêteur à décider si plus d’un modèle de la série doit être conservé pour un examen plus approfondi.

Le calcul de l’AIC est basé sur la formule générale suivante obtenue par ^Akaike1

où est le nombre de paramètres libres dans le modèle et est la valeur maximisée de la fonction de vraisemblance pour le modèle estimé.

Lorsque la taille de l’échantillon des données est faible par rapport au nombre de paramètres (certains auteurs disent que n’est pas plus de quelques fois plus grand que ), l’AIC ne sera pas aussi efficace pour protéger contre l’ajustement excessif. Dans ce cas, il existe une version corrigée de l’AIC donnée par :

On constate que l’AICc impose une pénalité plus importante que l’AIC lorsqu’il y a des paramètres supplémentaires. La plupart des auteurs semblent s’accorder sur le fait que l’AICc devrait être utilisé à la place de l’AIC dans toutes les situations.

Fonctions d’ajustement des probabilités – 24 nouvelles fonctions d’ajustement des probabilités ont été ajoutées à la bibliothèque d’ajustement standard.jfl. Ces fonctions, ainsi que certaines équations et formes graphiques, sont présentées ci-dessous :

Par exemple, le fichier d’ajustement de la fonction de densité lognormale contient l’équation de la densité lognormale lognormden(x,a,b), les équations pour l’estimation automatique des paramètres initiaux et les sept nouvelles fonctions de pondération.

[Variables]

x = col(1)

y = col(2)

réciproque_y = 1/abs(y)

reciprocal_ysquare = 1/y^2

réciproque_x = 1/abs(x)

réciproque_xsquare = 1/x^2

reciprocal_pred = 1/abs(f)

reciprocal_predsqr = 1/f^2

poids_Cauchy = 1/(1+4*(y-f)^2)

Fonctions d’estimation automatique des paramètres initiaux

trap(q,r)=.5*total(({0,q}+{q,0})[data(2,size(q))]*diff(r)[data(2,size(r))])

s=sort(complex(x,y),x)

u = sous-bloc(s,1,1,1, taille(x))

v = sous-bloc(s,2,1,2, size(y))

meanest = trap(u*v,u)

varest=trap((u-meanest)^2*v,u)

p = 1+varest/meanest^2

[Parameters]

a= if(meanest > 0, ln(meanest/sqrt(p)), 0)

b= if(p >= 1, sqrt(ln(p)), 1)

[Equation]

f=lognormden(x,a,b)

adapter f à y

« ajuster f à y avec le poids reciprocal_y

« Ajuster f à y avec un poids réciproque (reciprocal_ysquare)

« ajuster f à y avec le poids reciprocal_x

« Ajuster f à y avec le poids reciprocal_xsquare » « Ajuster f à y avec le poids reciprocal_xsquare

« ajuster f à y avec le poids reciprocal_pred

« ajuster f à y avec le poids reciprocal_predsqr

« ajuster f à y avec le poids weight_Cauchy

[Constraints]

b>0

[Options]

tolérance=1e-010

stepsize=1

itérations=200

Fonctions de poids dans la régression non linéaire – SigmaPlot Les éléments d’équation utilisent parfois une variable de poids dans le but d’assigner un poids à chaque observation (ou réponse) dans un ensemble de données de régression. Le poids d’une observation mesure son incertitude par rapport à la distribution de probabilités à partir de laquelle elle est échantillonnée. Un poids plus élevé indique une observation qui s’écarte peu de la moyenne réelle de sa distribution, tandis qu’un poids plus faible se réfère à une observation qui est davantage échantillonnée à partir de la queue de sa distribution.

Selon les hypothèses statistiques pour l’estimation des paramètres d’un modèle d’ajustement à l’aide de l’approche des moindres carrés, les poids sont, jusqu’à un facteur d’échelle, égaux à la réciproque des variances de population des distributions (gaussiennes) à partir desquelles les observations sont échantillonnées. Nous définissons ici un résidu, parfois appelé résidu brut, comme la différence entre une observation et la valeur prédite (la valeur du modèle d’ajustement) pour une valeur donnée de la (des) variable(s) indépendante(s). Si les variances des observations ne sont pas toutes identiques(hétéroscédasticité), une variable de pondération est nécessaire et le problème des moindres carrés pondérés, qui consiste à minimiser la somme pondérée des carrés des résidus, est résolu pour trouver les paramètres les mieux adaptés.

Notre nouvelle fonctionnalité permettra à l’utilisateur de définir une variable de poids en fonction des paramètres contenus dans le modèle d’ajustement. Sept fonctions de pondération prédéfinies ont été ajoutées à chaque fonction d’ajustement (les fonctions 3D sont légèrement différentes). Les sept exemples ci-dessous sont 1/y, ^1/y2, 1/x, ^1/x2, 1/prédit, ^1/prédit2 et Cauchy.

Cette pondération adaptative plus générale s’applique notamment aux situations où les variances des observations ne peuvent être déterminées avant l’ajustement. Par exemple, si toutes les observations sont distribuées selon une distribution de Poisson, les moyennes de la population, qui sont ce que les valeurs prédites estiment, sont égales aux variances de la population. Bien que l’approche des moindres carrés pour l’estimation des paramètres soit conçue pour des données normalement distribuées, d’autres distributions sont parfois utilisées avec les moindres carrés lorsque d’autres méthodes ne sont pas disponibles. Dans le cas de données de Poisson, nous devons définir la variable de poids comme la réciproque des valeurs prédites. Cette procédure est parfois appelée « pondération par les valeurs prédites ».

Une autre application de la pondération adaptative consiste à obtenir des procédures robustes d’estimation des paramètres qui atténuent les effets des valeurs aberrantes. Il peut arriver que quelques observations d’un ensemble de données soient échantillonnées à partir de la queue de leur distribution avec une faible probabilité, ou que quelques observations soient échantillonnées à partir de distributions qui s’écartent légèrement de l’hypothèse de normalité utilisée dans l’estimation par les moindres carrés et contaminent ainsi l’ensemble de données. Ces observations aberrantes, appelées valeurs aberrantes de la variable réponse, peuvent avoir un impact significatif sur les résultats de l’ajustement car elles présentent des résidus (bruts ou pondérés) relativement importants et gonflent donc la somme des carrés que l’on cherche à minimiser.

Une façon d’atténuer les effets des valeurs aberrantes est d’utiliser une variable de poids qui est une fonction des résidus (et donc aussi une fonction des paramètres), où le poids attribué à une observation est inversement lié à la taille du résidu. La définition de la fonction de pondération à utiliser dépend d’hypothèses sur les distributions des observations (en supposant qu’elles ne soient pas normales) et d’un schéma permettant de décider de la taille du résidu à tolérer. La fonction de pondération de Cauchy est définie en termes de résidus, y-f où y est la valeur de la variable dépendante et f la fonction d’ajustement, et peut être utilisée pour minimiser l’effet des valeurs aberrantes.

poids_Cauchy = 1/(1+4*(y-f)^2)

L’algorithme d’estimation des paramètres que nous utilisons pour la pondération adaptative, les moindres carrés repondérés de manière itérative (IRLS), est basé sur la résolution d’une séquence de problèmes de moindres carrés à pondération constante où chaque sous-problème est résolu en utilisant notre implémentation actuelle de l’algorithme de Levenberg-Marquardt. Ce processus commence par l’évaluation des poids à l’aide des valeurs initiales des paramètres, puis par la minimisation de la somme des carrés à l’aide de ces poids fixes. Les paramètres les mieux adaptés sont ensuite utilisés pour réévaluer les poids.

Avec les nouvelles valeurs de poids, le processus ci-dessus de minimisation de la somme des carrés est répété. Nous continuons ainsi jusqu’à ce que la convergence soit atteinte. Le critère utilisé pour la convergence est que l’erreur relative entre la racine carrée de la somme des résidus pondérés pour les valeurs actuelles des paramètres et la racine carrée de la somme des résidus pondérés pour les valeurs des paramètres de l’itération précédente est inférieure à la valeur de tolérance fixée dans l’équation. Comme pour les autres procédures d’estimation, la convergence n’est pas garantie.