シスタット信頼帯

インピクソン

コンフィデンスバンド

信頼区間と信頼帯

基本

SYSTATで線形モデルの信頼区間を求める方法を尋ねられることがあります。実はそれほど難しくはないので、ここでそのテクニックをおさらいしておこう。しかしその前に、線形モデルの信頼区間の基本的な考え方を復習しておこう。

まず、Yを変数Xに線形回帰させた場合、Xのある値に対して、Yの値はY=aX+b+eで与えられ、eは “ノイズ項 “である。

ノイズ項は通常、平均0、分散s^2の正規分布と仮定される。実際のデータセットのコツは、aとbを推定し、s^2の推定値を用いてそれらの推定値から推論を行うことである。

上の式によれば、XにおけるYの平均はaX+bである。

しかし、実際のデータセットでは、aとbの “真の “値を知ることはなく、わかるのは推定値だけである。したがって、Yの真の平均が発生すると比較的確信できる区間を見つけることが適切である。

この間隔の計算には非常に面倒な公式があるが、ここでは割愛する。結局のところ、コンピューターは計算を簡単にしなければならない。そこで、サンプル・データセットUSSTATES.SYDを取り、変数CARDIOとCANCERについて48の有効なケースがあるとします。 Statistics> Regression> Linear ダイアログ・ボックスを使用して、回帰モデルを設定するか、コマンドを発行する：

回帰
USE usstates
リグレス／モデルを保存
MODEL cancer=CONSTANT+cardio
見積もり

次にコンピュータはモデルを推定し、定数とCARDIOの係数の推定値を求め、分散分析表をプリントアウトする。

この例では、REGRESS.SYDというファイルも保存されます。REGRESS.SYDには、モデルからの残差、モデル（ESTIMATEという変数）のCARDIOに基づくCANCERの推定値、SEPREDという謎の値が含まれます。信頼区間を計算するのに使うのはSEPREDである。

SEPREDは「予測値の標準誤差」の略。ファイルには元のデータの値も保存される。 SAVEコマンドにMODELオプションを追加したので、これらは保存される。

CANCERの予測値の95%信頼区間の上限と下限を計算するには、Data> Transform> Let ダイアログ・ボックスを使うか、BASICモジュールに入ってコマンドを実行する：
ベーシック
USE regress
LET n=48
LET nvars=2
LET upper = estimate+TIF(.975,n-nvars)*sepred
LET lower = estimate-TIF(.975,n-nvars)*sepred
プリント上段下段
ラン

そして、各ケースのCANCERの推定値の信頼限界の上限と下限が印刷される。上記では、TIFは “逆t分布 “の略である。

上記の考え方は、いくつかの異なる方法で一般化することができる。例えば、2つの変数の回帰でYの平均の信頼区間を求めたい場合は、REGRESSのMODEL文にそれらの変数を追加し、BASICモジュールのNVARSを2から3に変更するだけでよい。 (注：N-NVARS は、有効症例数からモデル内の変数数を引いたものである。上記の N と NVARS を、モデルに合ったケース数と変数数に設定します。

Xの新しい値におけるYの平均の信頼区間

X変数の1つまたは複数の新しい値におけるYの平均の信頼区間を求めたい場合がある。 Xの新しい値をファイルの最後に置き、関連するYの値をゼロにする。 (Y値が実際に何であるかは気にする必要はない。このY値は単なるプレースホルダーであり、計算には入らない)

次に、ファイルにWTという新しい変数を追加する。ファイルを保存した後、Data> Frequencyダイアログを使って、重み付け変数としてWTを選択するか、コマンドを実行してください：

FREQUENCY=WT

Statistics> Regression> Linear ダイアログ・ボックスまたはコマンド・ファイルを用いて、回帰モデルを再度推定し、結果を MODEL オプション付きデータ・ファイルに保存することを忘れないようにする。 FREQUENCYコマンドはこの文脈で非常に便利である。回帰計算では、重み1のポイントは1回使われ、重み0のポイントは0回使われる。

したがって，回帰は，YとXの値がわかっているケースについて計算される．保存された結果のファイルを使って、新しいケースについて、既知のXの値における未知のYの推定平均の信頼区間を導き出すために、上記の計算を使用することができます。

繊細さ

この種の信頼区間には、注意すべき微妙な点がいくつかある。第一に、これはXの特定の値におけるYの平均の区間であり、回帰直線の信頼区間や帯域ではない。信頼限界の上限と下限をプロットすると、回帰線の周りに2本の曲線が見えます。 USSTATES.SYDファイルを使った元の例に戻り、信頼区間値を計算してプロットする：
開始
PLOT cancer*x(1) /SIZE=0 SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 、
xmin=100 xmax=500 xlabel=’cardio’ color=blue
PLOT upper,lower*x(1) /SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT YMIN=100 YMAX=300、
xmin=100 xmax=500 ylabel=’ ‘ xlabel=’ ‘ color=red、
オーバーレイ
終了

(推定モデルの結果を保存する際、SYSTATは独立変数の名前をX(1)に変更します。 . . X(n)なので、この例ではCARDIOはX(1)と名前を変えている)。

これらのラインは、ライン全体の信頼帯を形成していると考えたくなる。そんなことはない。問題は、信頼限界の上限と下限が1点ずつ使って計算されることだ。線分全体の信頼帯または信頼区間を計算するためには、その線分について定数とX係数の2つのパラメータが計算されているという事実を考慮に入れる必要がある。したがって、ライン全体の上下の信頼帯は次のようになる：
ベーシック
LET n=48
LET nvars=2
LET upperband = estimate+SQRT(2*FIF(.95,2,n-nvars))*sepred
LET lowerband = estimate+SQRT(2*FIF(.95,2,n-nvars))*sepred
アッパーバンド
ラン

CANCERの推定値の信頼区間と回帰直線の信頼帯をプロットすると、信頼区間よりも信頼帯の方が広いことがわかる：

開始
PLOT cancer*x(1) / SIZE=0 SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 、
xmin=100 xmax=500 xlabel=’cardio’ color=blue
PLOT upper,lower*x(1) /SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT YMIN=100、
ymax=300 xmin=100 xmax=500 ylabel=’ ‘、
xlabel=’ ‘ color=赤オーバーレイ
PLOT upperband,lowerband*x(1) /SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT、
ymin=100 ymax=300 xmin=100 xmax=500 ylabel=’ ‘、
xlabel=’ ‘ color=green オーバーレイ
終了

CANCER（がんによる100,000人当たりの死亡者数）とCARDIO（心血管系疾患による100,000人当たりの死亡者数）の関係は線形であるため、CANCERの推定値の信頼区間と回帰直線の信頼区間の差は小さいが、このように行儀の良いデータでも差は明らかである。

第2に、すべてのオブザベーションの95％が信頼帯内に入るはずだと考えたくなる。これも真実ではない。これらは平均値のみの信頼帯である。オブザベーションの信頼帯を見つけたい場合は、下記のように計算を修正しなければなりません。

ベーシック
LET n=48
LET nvars=2
LET s_square=177.065
LET upperband = estimate+TIF(.975,n-nvars)*SQR(sepred^2+s_square)
LET lowerband = estimate-TIF(.975,n-nvars)*SQR(sepred^2+s_square)
アッパーバンド
ラン

ここで S_SQUARE は回帰の平均2乗残差である。これらは予測区間と呼ばれることもある。 NとNVARSの値を入力するとき、回帰出力の分散分析の表にあるS_SQUAREの値も入力してください。

この計算結果を見たい場合は、以下のコマンドを実行してください：

開始
PLOT cancer*x(1) /SMOOTH=LINEAR SHORT YMIN=100 YMAX=300 XMIN=100、
xmax=500 xlabel=’有酸素運動’ color=blue
PLOT upperband,lowerband*x(1) / SIZE=0 SMOOTH=SPLINE SHORT、
ymin=100 ymax=300 xmin=100 xmax=500 ylabel=’ ‘、
xlabel=’ ‘ color=green オーバーレイ
終了

これはデータの周りに信頼帯または予測区間をプロットします。